Дифференциальные уравнения примеры задачник

Содержание статьи:
  • Общий интеграл, семейство кривых
  • Теория по дифференциальным уравнениям
  • Примеры решения дифференциальных уравнений
  • Дифференциальные уравнения, примеры решений
  • Если вам нужна помощь в выполнении заданий, перейдите в раздел: Подробное решение задачи Коши pdf, 37 Кб. Решение задачи Коши для ДУ 2 порядка pdf, 39 Кб.

    Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

    За 10 минут тело охладилось от до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов? Решение задачи про остывание тела pdf, 49 Кб.

    Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Решение задачи про скорость лодки pdf, 50 Кб. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Cборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повышенной математической программой.

    Условия задач и решения доступны в режиме онлайн без регистрации. Сборник задач можно бесплатно скачать: Решения дифференциальных уравнений сгруппированы по параграфам: Уравнения в полных дифференциалах.

    Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал — частное интегрирование. Если у вас в запасе всего день-два , то для сверхбыстрой подготовки есть блиц-курс в pdf-формате.

    Сначала вспомним обычные алгебраические уравнения. Они содержат переменные и числа. Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел , которые удовлетворяют данному уравнению.

    Легко заметить, что детское уравнение имеет единственный корень: Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение: Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит: Что значит решить дифференциальное уравнение?

    Решения дифференциальных уравнений сгруппированы по параграфам:

    Решить дифференциальное уравнение — это значит, найти множество всех функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид — произвольная постоянная , который называется общим решением дифференциального уравнения.

    В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным.

    В диффурах рулит именно оно! На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции: Следующий этап — интегрирование дифференциального уравнения.

    Всё просто, навешиваем интегралы на обе части: Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные: Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. В большинстве случаев её помещают в правую часть. Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

    Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение. Пожалуйста, запомните первый технический приём , он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: Теперь логарифмы и модули можно убрать: Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить.

    Иногда общее решение называют семейством функций. После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:. Всегда ли это можно сделать?

    Общий интеграл, семейство кривых

    И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка , необходимо сначала провести замену.

    В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка , нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения.

    Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке — простейший тип дифференциальных уравнений. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов.

    Даламбер и Коши гарантируют В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла.

    Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши. Сначала находим общее решение. Переписываем производную в нужном виде: Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики — налево, девочки — направо: Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

    Вспоминаем старое, доброе, школьное: Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю.

    18+ Математика без Ху%!ни. Дифференциальные уравнения.

    Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом: Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.

    В чём состоит задача?

    Теория по дифференциальным уравнениям

    Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие. Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию?

    Второй этап уже знаком. Переписываем производную в нужном нам виде: Оцениваем, можно ли разделить переменные? Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака: И перекидываем множители по правилу пропорции: Переменные разделены, интегрируем обе части: Должен предупредить, приближается судный день.

    Если вы плохо изучили неопределенные интегралы , прорешали мало примеров, то деваться некуда — придется их осваивать сейчас. Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году: В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже следует записать под логарифмом.

    Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно и нужно избавиться. Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. Иногда общее решение называют семейством функций.

    После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:.

    Всегда ли это можно сделать?

    Примеры решения дифференциальных уравнений

    И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка , необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка , нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения.

    Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке — простейший тип дифференциальных уравнений.

    Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла.

    Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла.

    Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши. Сначала находим общее решение. Переписываем производную в нужном виде: Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики — налево, девочки — направо: Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

    Вспоминаем старое, доброе, школьное: Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так.

    Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом: Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.

    В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие. Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию? Второй этап уже знаком. Переписываем производную в нужном нам виде: Оцениваем, можно ли разделить переменные?

    Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака: И перекидываем множители по правилу пропорции: Переменные разделены, интегрируем обе части: Должен предупредить, приближается судный день.

    Если вы плохо изучили неопределенные интегралы , прорешали мало примеров, то деваться некуда — придется их осваивать сейчас. Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году: В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже следует записать под логарифмом.

    Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно и нужно избавиться. Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной: Дело в том, что общее решение будет смотреться просто ужасно — с большими корнями, знаками и прочим трэшем.

    Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить его в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

    Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно. Умножаем оба слагаемых на: Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

    Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов: Проверка тоже проводится в два шага см. Сначала найдем общее решение. Интеграл слева — табличный, интеграл справа — берем методом подведения функции под знак дифференциала: Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение?

    Дифференциальные уравнения, примеры решений

    Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни: Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать. Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию.

    Сначала проверим, выполнено ли начальное условие: Смотрим на исходное уравнение: Есть два способа проверки. Используем основное логарифмическое тождество: Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

    Второй способ проверки зеркален и более привычен: В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство. Пример 6 Решить дифференциальное уравнение. Ответ представить в виде общего интеграла. Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

    Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: Как действовать дальше — понятно. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла , то со многими диффурами придется туго.

    Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку.

    Рассмотрим ещё один условный пример: В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: Беда же состоит в том, что с индексами частенько не заморачиваются и используют одну и ту же букву.

    В результате запись решения принимает следующий вид: Строго говоря — да. Однако с содержательной точки зрения — ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы всё равно получается варьируемая константа.

    Решения дифференциальных уравнений первого порядка

    Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл. Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак: Формально здесь опять ошибка — справа следовало бы записать.

    Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании. Данное уравнение допускает разделение переменных.

    Дифференцируем ответ неявную функцию: Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на: Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно. Найти частное решение ДУ. Это пример для самостоятельного решения.

    Единственная подсказка — здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока. Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения.

    Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока. Следующая рекомендуемая статья — Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Общий интеграл получен, пытаемся его упростить.

    Упаковываем логарифмы и избавляемся от них: Выражаем функцию в явном виде, используя. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию. Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие: Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

    Разделяем переменные и интегрируем: Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно плохо. Данное ДУ допускает разделение переменных. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам - изучайте, ищите похожие, решайте свои.

    Если вам нужна помощь в выполнении заданий, перейдите в раздел: Подробное решение задачи Коши pdf, 37 Кб. Решение задачи Коши для ДУ 2 порядка pdf, 39 Кб. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

    За 10 минут тело охладилось от до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов? Решение задачи про остывание тела pdf, 49 Кб.

    Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

    Решение задачи про скорость лодки pdf, 50 Кб. Посмотреть решения задач Заказать свою работу Прочитать отзывы. Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы , самое время перейти к более сложной теме: Проверка решения pdf, 40 Кб. Решение, семейство кривых pdf, 38 Кб. Решение однородного ДУ pdf, 35 Кб.

    Данный сборник содержит задачи по курсу дифференциальных уравне . Чаще всего общее решение дифференциального уравнения. В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений.

    Примеры решений дифуров выложены. На нашем сайте собраны примеры решения дифференциальных уравнений разных функций. Каждое уравнение содержит подробное решение и.